Question

【題目】已知橢圓C以坐標軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，

Ⅰ求橢圓C的方程．

Ⅱ斜率為k的直線l過點F且不與坐標軸垂直，直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】Ⅰ ．Ⅱ．

【解析】

Ⅰ設橢圓方程為，由橢圓可得，解出即可得出．

Ⅱ解法一：設，，AB中點，直線AB的方程為，代入橢圓方程可得，利用根與系數的關系、中點坐標公式可得N的坐標，可得AB的垂直平分線NG的方程為，進而得出．

解法二：設，，AB中點，把點A，B的坐標分別代入橢圓方程相減可得：，利用中點坐標公式、斜率計算公式可得斜率，又，可得，又在橢圓內，即，可得，利用AB的垂直平分線為，即可得出．

Ⅰ設橢圓方程為，

則

由得

由得代入得，

即，即，或

，，得，

，，

橢圓方程為．

Ⅱ解法一：設，，AB中點，

直線AB的方程為，

代入，整理得，

直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根，

則，，

，，

的垂直平分線NG的方程為，

時，，

，，，，

．

解法二：設，，AB中點，

由，得，

斜率，

又，，

，得，

在橢圓內，即，

將代入得，

解得

，

則AB的垂直平分線為，時，．