Question

【題目】已知傾斜角為的直線過點和點，點在第一象限，.

（1）求的坐標；

（2）若直線與兩平行直線，相交于、兩點，且，求實數的值；

（3）記集合直線經過點且與坐標軸圍成的面積為，，針對的不同取值，討論集合中的元素個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或23；（3）答案不唯一，見解析

【解析】

(1)先求出直線的方程,再根據方程設出的坐標,利用以及在第一象限,可解得;

(2)解方程組得的坐標,根據兩點間的距離可解得;

(3)設出直線的截距式方程,代入的坐標并根據面積公式可得,再分2種情況去絕對值,利用判別式討論一元二次方程的根的個數可得.

(1)因為傾斜角為的直線過點,

所以由點斜式得,即,

因為直線過點,所以設,

所以,

因為,

所以,化簡得,解得或,

因為點在第一象限,所以,

所以,,

所以.

(2)聯立, 解得 ,所以,

聯立,解得,所以,

因為,所以,

化簡得,

解得或.

(3)因為,所以可設直線的截距式方程為,

因為直線經過點,所以,

所以,

因為直線與坐標軸圍成的面積為,

所以即,

所以或,

當時,,整理得,

因為恒成立,所以一元二次方程恒有兩個非零實根,

當時,,整理得,

當,即時, 無解,

當,即時, 有且只有一個非零實根,

當,即時, 有兩個不相等的非零實根,

所以,當 時,直線有兩條,集合有兩個元素,

當時,直線有三條, 集合有三個元素,

當時,直線有四條, 集合有四個元素.