Question

（本題滿分16分）已知橢圓的離心率為.

⑴若圓（x-2）²+(y-1)²=與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓W方程；

⑵設L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為60⁰．求的值.

⑶在（1）的條件下，橢圓W的左右焦點分別為F₁、 F₂，點R在直線l：x－y＋8＝0上．當∠F₁RF₂取最大值時，求的值.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,AB的方程為y-1=k(x-2) 即y=kx+1-2k①

  　∵離心率e=

∴橢圓方程可化為②

將①代入②得（1+2k²）x²+4(1-2k)·kx

+2(1-2k)²-2b²=0

∵x₁+x₂=    ∴k=-1

∴x₁x₂= 

又 

∴即 

∴b²=8    

∴橢圓方程為

(2)設,則由第二定義知即 或

∴ 或.

（3）當∠F₁RF₂取最大值時，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切.

直線l與x軸于S(-8,0),∽(可證)

 

【解析】略