Question

如圖，四棱錐中，平面平面,//,,
,且，.
（1）求證：平面；
（2）求和平面所成角的正弦值；
（3）在線段上是否存在一點使得平面平面，請說明理由.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）在線段上存在一點使得平面平面.

解析試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線面角、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、轉化能力.第一問，在中，求出，在中，求出， 在中，三邊符合勾股定理，所以， 利用面面垂直的性質，得平面； 第二問，利用第一問的證明得到垂直關系，建立空間直角坐標系，得到平面BDF和平面CDE中各點的坐標，得出向量坐標，先求出平面CDE的法向量，利用夾角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值；第三問，假設存在F，使得，用表示，求出平面BEF的法向量，由于兩個平面垂直，則兩個法向量垂直，則， 解出.
（1）由，.,
可得．
由，且，
可得．
又．
所以．
又平面平面，
平面 平面 ，
平面，
所以平面．　　　　　　　　　    ５分
（2）如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，
，，．
設是平面的一個法向量，則，，
即 
令，則．
設直線與平面所成的角為，
則．
所以和平面所成的角的正弦值．　　　　　　     1０分
（3）設，．
，，.
則．
設是平面一個法向量，則，，
即 
令，則．
若平面平面，則，即