Question

某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元,每生產x千件,需另投入成本為C(x),當年產量不足80千件時,C(x)=x²+10x(萬元).當年產量不小于80千件時,C(x)=51x+-1450(萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,該廠生產的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式.
(2)年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大?

Answer 1

(1) L(x)=
(2) 當產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大,最大利潤為1000萬元.

(1)因為每件商品售價為0.05萬元,則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元,依題意得:當0<x<80時,L(x)=(0.05×1000x)-x²-10x-250=
-x²+40x-250.
當x≥80時,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-(x+).
所以L(x)=
(2)當0<x<80時,L(x)=-(x-60)²+950.
此時,當x=60時,L(x)取得最大值,L(60)=950萬元.
當x≥80時,L(x)=1200-(x+)≤1200-2=1200-200=1000,
此時,當x=時,即x=100時,L(x)取得最大值1000萬元.
∵950<1000,
所以,當產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大,最大利潤為1000萬元.