Question

【題目】設函數f（x）=ln（1+x）．
（1）若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=g（x），當x≥0時，f（x）≤ ，求t的最小值；
（2）當n∈N*時，證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的導數為f′（x）= ，

f（0）=0，f′（0）=1，切線的方程為y=x，即g（x）=x，

當x≥0時，f（x）≤ ，即為

ln（x+1）﹣ ≤0，x≥0恒成立．

設h（x）=ln（x+1）﹣ ，x≥0，

h（x）≤0，h（1）≤0即t≥﹣1+2ln2＞0．

h′（x）= ﹣ = =﹣ ，

當0＜t＜ 時，0＜x＜ 時，h′（x）＞0，h（x）遞增，

故0＜x＜ 時，h（x）＞h（0）=0，與x≥0，h（x）≤h（0）=0，相矛盾，則0＜t＜ 不合題意．

當t= 時，h′（x）=﹣ ＜0，h（x）在[0，+∞）遞減，

故當x≥0時，h（x）≤h（0）=0，因此t的最小值為 ；

（2）證明：由（1）可得ln（1+x）＜ ，x≥0，x=0時取得等號．

取x= ，ln ＜ = + （ ﹣ ），

則ln ＜ + （ ﹣ ），（1）

ln ＜ + （ ﹣ ），（2）

…，ln ＜ + （ ﹣ ），（n）

將n個不等式相加，由對數的運算性質，可得

ln2=ln（ … ）＜ + +…+ + （ ﹣ ），

則

【解析】（1）求出導數，求得切線的斜率和切點，可得切線的方程，即g（x）=x．由題意可得ln（x+1）﹣ ≤0，x≥0恒成立．設h（x）=ln（x+1）﹣ ，x≥0，求出導數，求得單調區間，可得最小值；（2）由（1）可得ln（1+x）＜ ，x≥0，x=0時取得等號．取x= ，ln ＜ = + （ ﹣ ），運用對數的運算性質和累加法，及不等式的性質，即可得證．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．