Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在斜率為的直線與橢圓相交于兩點，使得 是橢圓的左焦點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在斜率為﹣1直線l與橢圓C相交于M，N兩點，使得|F1M|=|F1N|

【解析】試題分析：（1）由橢圓的右焦點為，點在橢圓上，列出方程組求出， ，由此能求出橢圓的標準方程；（2）假設存在斜率為直線： 與橢圓相交于， 兩點，使得，聯立方程組，由此利用根的判別式、韋達定理、兩點間距離公式、直線斜率公式，結合已知條件推導出不存在斜率為直線與橢圓相交于， 兩點，使得.

試題解析：（1）∵橢圓： 的右焦點為，點在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的標準方程為．

（2）不存在斜率為直線與橢圓相交于， 兩點，使得，理由如下：假設存在斜率為直線： 與橢圓相交于， 兩點，使得，聯立，消除，得： ， ，解得，（*）， ， ，∵， ， ， ，∴，整理，得，∴，∴直線的斜率： ，解得，不滿足（*）式，∴不存在斜率為直線與橢圓相交于， 兩點，使得．