Question

【題目】已知數列的前項和為，且， ，在數列中， ， ， ．

（1）求證： 是等比數列；

（2）若，求數列的前項和；

（3）求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用遞推關系可得，由等比數列的定義即可得出結論；（2）利用對數的運算性質可得，根據裂項求和方法即可得出；（3）時， 時， ，綜上，可得，再利用錯位相減法及分組求和法即可得結果.

試題解析：(1) 證明： 且

是首項為4，公比為2的等比數列 .

(2) 由(1)知 ，

所以 ，

則 ，

.

(3) 時 ,

時 ,

綜上 ,

，解得

.

【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②

；③；

④ ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.