Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M為AB的中點．
（1）求證：BC₁∥平面MA₁C；
（2）求直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角的大小．

Answer 1

（1）連接AC₁，交A₁C于O點，連接OM
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴四邊形AA₁C₁C是矩形，可得AO=OC₁
∵M為AB的中點，
∴OM是△A₁CB的中位線，可得OM∥BC₁，
又∵OM?平面MA₁C，BC₁?平面MA₁C
∴BC₁∥平面MA₁C；
（2）根據直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥BC，可得CA、CB、CC₁兩兩垂直，
因此以C為原點，CA、CC₁、CB分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系
設AC=1，可得C（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，1，0），C₁（0，1，0），B（0，0，1），
設平面AA₁B₁B的一個法向量為

n

=（x，y，z），直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角是α
∵

AA1

=（0，1，0），

AB

=（-1，0，1），
∴可得方程組

AA1 • n =y=0 AB • n =-x+z=0

，取x=1，得y=0，z=1
由此可得平面AA₁B₁B的法向量為

n

=（1，0，1），
∵

BC1

=（0，1，-1），
∴sinα=|cos＜

BC1

，

n

＞|=|

BC1 • n

| BC1 |•| n |

|=

1

2

∵直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角α是銳角
∴α=30°，即直線BC₁與平面AA₁B₁B所成角為30°