Question

【題目】已知函數，其中，．是自然對數的底數．

（1）求曲線在處的切線方程為，求實數，的值；

（2）①若時，函數既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍；

②若，，若對一切正實數恒成立，求實數的取值范圍（用表示）．

Answer 1

【答案】（1），．（2）①，②

【解析】

試題分析：（1）由導數幾何意義得，求函數導數得等量關系，再根據切點既在切線上也在曲線上得，解方程組得實數，的值（2）①先求函數導數得，轉化為方程有兩個零點，再利用導數研究函數單調性變化規律：上減，上減增，即時取最小值，因此，最后列表分析證明，②先化簡不等式，再探求實數的取值范圍：取得．由于，，所以，因此時不等式恒成立

試題解析：（1）由題意知曲線過點，且；

又因為，

則有解得，．

（2）①當時，函數的導函數，

若時，得，

設（），

由，得，．

當時，，函數在區間上為減函數，；

僅當時，有兩個不同的解，設為，（）．

		極大值		極小值

此時，函數既有極大值又有極小值．

②由題意對一切正實數恒成立，

取得．

下證對一切正實數恒成立．

首先，證明，設函數，則，

當時，；當時，；得，即，

當且僅當都在處取到等號．

再證，設，則，當時，；

當時，；得，即，

當且僅當都在處取到等號．

由上可得，所以，

所以．