Question

設曲線：上的點到點的距離的最小值為,若,,
（1）求數列的通項公式；
（2）求證:；
（3）是否存在常數,使得對,都有不等式:成立?請說明理由.

Answer 1

（1） （2）先證，累加即得證.（3）存在常數,對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

試題分析：（1）設點,則,∴,
∵, ∴ 當時,取得最小值,且,
又,∴,即， 將代入得
兩邊平方，得,又,，
∴數列是首項為,公差為的等差數列, ∴,
∵ ,∴
（2）∵,∴
∴,∴ ∴，
∴
將以上個不等式相加，得.
（Ⅲ）由（1）得,當時, ,
∵,
∴，
∴,
∴
∴.
∴存在常數,對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）
點評：本題考查數列的通項，考查數列與不等式的綜合，考查放縮法的運用，解題的關鍵是根據目標，適當放縮，難度較大．