Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+S_n=2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證數列{a_n}中不存在任意三項按原來順序成等差數列；
（3）若從數列{a_n}中依次抽取一個無限多項的等比數列，使它的所有項和S滿足，這樣的等比數列有多少個？

Answer 1

解：（1）當n=1時，a₁+S₁=2a₁=2，則a₁=1．
又a_n+S_n=2，
∴a_n+1+S_n+1=2，兩式相減得，
∴{a_n}是首項為1，公比為的等比數列
∴
（2）反證法：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r）
則，∴2●2r﹣q=2^r﹣p+1（*）
又∵p＜q＜r
∴r﹣q，r﹣p∈N*
∴*式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立
∴假設不成立原命題得證．
（3）設抽取的等比數列首項為，公比為，項數為k，
且滿足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
則
又∵
∴
整理得：①
∵n≥1  ∴2^m﹣n≤2^m﹣1．
∴
∴m≥4
∵   ∴
∴m≥4
∴m=4將m=4代入①式整理得    ∴n≥4
經驗證得n=1，2不滿足題意，n=3，4滿足題意．
綜上可得滿足題意的等比數列有兩個．