Question

（2012•韶關二模）在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，且

cosA

cosB

=

b

a

=

3

1

．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧

AC

上，∠PAB=θ，用θ的三角函數表示三角形△PAC的面積，并求△PAC面積最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式

cosA

cosB

=

b

a

，整理后再利用二倍角的正弦函數公式化簡得到sin2A=sin2B，再利用正弦函數的圖象與性質得到A與B相等或A與B互余，由b與a的比值不相等，得到A不等于B，故A與B互余，可得出C為直角，則此三角形為直角三角形，得證；
（2）由三角形ABC為直角三角形，根據a與b的比值，以及c的值，利用勾股定理求出a與b的值，再由一條直角邊等于斜邊的一半，可得出此直角邊所對的角為30°，即∠BAC為30°，又∠PAB=θ，用∠PAB-∠BAC表示出∠PAC，同時在直角三角形PAB中，由AB的長及∠PAB=θ，利用銳角三角函數定義表示出PA，由AC，PA及sin∠PAC，利用三角形的面積公式表示出三角形APC的面積，利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據θ的范圍，求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質可得出正弦函數的值域，進而確定出面積的最大值．

解答：解：（1）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

得：

b

a

=

sinB

sinA

，
又

cosA

cosB

=

b

a

，
∴

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，整理為sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
∵

b

a

=

3

1

，∴A=B舍去，
由A+B=

π

2

可知：C=

π

2

，
則△ABC是直角三角形；…（6分）

（2）由△ABC是直角三角形，

b

a

=

3

1

，
設a=k，則b=

3

k，又c=2，
根據勾股定理得：k²+3k²=4，即k²=1，
解得：k=1，則a=1，b=

3

，…（7分）
∵直角三角形ABC中，a=

1

2

c，
∴∠BAC=

π

6

，
由圓周角定理得到△PAB為直角三角形，又∠PAB=θ，
∴PA=AB•cosθ=2cosθ，
∴S_△PAC=

1

2

PA•AC•sin（θ-

π

6

）=

1

2

•2cosθ•

3

sin（θ-

π

6

）=

3

cosθsin（θ-

π

6

）…（9分）
=

3

cosθ（

3

2

sinθ-

1

2

cosθ）=

3

4

（

3

sin2θ-cos2θ）-

3

4

=

3

2

sin（2θ-

π

6

）-

3

4

，…（12分）
∵

π

6

＜θ＜

π

2

，∴

π

6

＜2θ-

π

6

＜

5

6

π，
當2θ-

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時，S_△PAC最大值等于

3

4

．…（14分）

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，三角形的面積公式，正弦函數的定義域與值域，以及直角三角形的性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．