Question

設橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點，、的焦點均在軸上，過的焦點F作直線，與交于A、B兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：


（1）求，的標準方程；
（2）若與交于C、D兩點，為的左焦點，求的最小值；
（3）點是上的兩點，且，求證：為定值；反之，當為此定值時，是否成立？請說明理由.

Answer 1

（1） ： ；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：（1）分析哪些點在橢圓上，哪些點在拋物線上，顯然是橢圓的頂點，因此，從而點是橢圓上的點，另兩點在拋物線上，代入它們的標準方程可求得其方程；（2）與的頂點都是，底在同一直線上，因此基、其面積之比為底的比，即，這樣我們只要求出直線與已知兩曲線相交弦長即可，直線與曲線交于兩點，其弦長為，當然由于直線過圓錐曲線的焦點，弦長也可用焦半徑公式表示；（3）從題意可看出，只有把，求出來，才能得出結論，為了求，，我們可設方程為，則方程為，這樣，都能用表示出來，再計算可得其為定值，反之若，我們只能設方程為，方程為，分別求出，代入此式，得出，如果一定能得到1，則就一定有，否則就不一定有.
試題解析：（1）在橢圓上，在拋物線上，
 ：       （4分）
（2）(理) =.
是拋物線的焦點，也是橢圓的右焦點，①當直線的斜率存在時，
設：,，
聯(lián)立方程，得，時恒成立. 
（也可用焦半徑公式得：）     （5分）
聯(lián)立方程，得，恒成立.
,   （6分）
=.          （8分）
②當直線的斜率不存在時，：，
此時，，，=.          （9分）
所以，的最小值為.                    （10分）
（3）（理）證明：①若P、Q分別為長軸和短軸的端點，則=.（11分）
②若P、Q都不為長軸和短軸的端點，
設
聯(lián)立方程，解得；      （12分）
同理，聯(lián)立方程，解得；
（13分）
反之，對于上的任意兩點，當時，
設，，易得
；，
由得，
即，亦即， （15分）
所以當為定值時，不成立           （16分）
“反之”的方法二：如果有，且不在坐標軸上，作關于坐標軸對稱的射線與交于，，顯然，與不可能同時成立．