Question

【題目】已知圓過點和點，且圓心在直線上.

（1）求圓的方程；

（2）過點作圓的切線，求切線方程.

（3）設直線，且直線被圓所截得的弦為，滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) x2＋y2－6x＋4y＋4＝0. (2) 或.(3)y＝x－1或y＝x－4.

【解析】試題分析：（1）設圓心C（a，b），由兩點間距離公式及圓心在直線上，列出方程組，求出圓心坐標，進而求出圓半徑，由此能求出圓C的方程．

（2）當切線的斜率k存在時，設過點（6，3）的切線方程為kx﹣y﹣6k+3=0，則圓心C（3，﹣2）到切線的距離d=，求出k，從而求出切線方程；當切線斜率k不存在時，切線方程為x=6，成立．由此能求出切線方程．

（3）由題意得OA⊥OB，從而|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，進而解得m＝－1或m＝－4，由此能求出直線l的方程．

試題解析：

(Ⅰ)設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

則，解得D＝－6，E＝4，F＝4，

所以圓C的方程為x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.

（Ⅱ）圓C的方程為,

當斜率存在時，設切線方程為，則

，解得，

所以切線方程為，即.

當斜率不存在時， .

所以所求的切線方程為或.

（Ⅲ）直線l的方程為y＝x＋m.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則聯立消去y得2x2＋2(m－1)x＋m2＋4m＋4＝0，(*)

∴∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2.

∵∠AOB＝90°，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，

∴=(x1－x2)2＋(y1－y2)2，

得x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，

即m2＋4m＋4＋m(1－m)＋m2＝0，解得m＝－1或m＝－4.

容易驗證m＝－1或m＝－4時方程(*)有實根.

所以直線l的方程是y＝x－1或y＝x－4.