Question

【題目】如圖“月亮圖”是由曲線與構成，曲線是以原點為中點， 為焦點的橢圓的一部分，曲線是以為頂點， 為焦點的拋物線的一部分， 是兩條曲線的一個交點.

（Ⅰ）求曲線和的方程；

（Ⅱ）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于四點，若為的中點， 為的中點，問： 是否為定值？若是求出該定值；若不是說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為定值3

【解析】試題分析：（Ⅰ）設曲線所在的拋物線的方程為y2=2px，將代入可得p的值，利用橢圓的定義，可得曲線所在的橢圓的方程；（Ⅱ）設，過F2與x軸不垂直的直線為x=ty+1，與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得，同理可得，進而可得為定值．

試題解析：（Ⅰ）由題意得拋物線，設橢圓方程為，

則,得

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設，把直線代入

得，

則， 同理將代入

得： ，

為定值.