Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

（1）若在上單調遞増，求實數的取值范圍；

（2）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，解不等式得出，由題意得出，列出不等式組求出實數的取值范圍；

（2）由可得對任意的恒成立，然后構造函數，將問題轉化為，然后對實數的取值進行分類討論，確定函數在區間上的最小值，解出不等式可得出實數的取值范圍.

（1），

.

解不等式，得.

由于函數在區間上單調遞增，則，

所以，解得，因此，實數的取值范圍是；

（2）不等式對任意的恒成立，可得對任意的恒成立，構造函數，其中，則.

，構造函數，則，

當時，，則函數在區間上單調遞增，

則.

①當時，即當時，對任意的，，

此時，函數在區間上單調遞增，，

解得，此時，；

②當時，即當時，則存在，使得，

此時，.

當時，；當時，.

所以，函數在處取得極小值，亦即最小值，

即，

即，得，又，所以，，解得，

此時.

構造函數，其中，，此時，函數單調遞減，

所以，，即.

綜上所述，實數的取值范圍是.