Question

【題目】已知函數f（x）=ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，則實數b的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞， ）
B.（﹣∞， ）
C.（﹣ ， ）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=ex（x﹣b），

∴f′（x）=ex（x﹣b+1），

若存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，

則若存在x∈[ ，2]，使得ex（x﹣b）+xex（x﹣b+1）＞0，

即存在x∈[ ，2]，使得b＜ 成立，

令g（x）= ，x∈[ ，2]，

則g′（x）= ＞0，

g（x）在[ ，2]遞增，

∴g（x）最大值=g（2）= ，

故b＜ ，

故選：A

【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．