Question

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）上點P，其左、右焦點分別為F1 ， F2 ， △PF1F2的面積的最大值為 ，且滿足 =3
（1）求橢圓E的方程；
（2）若A，B，C，D是橢圓上互不重合的四個點，AC與BD相交于F1 ， 且 =0，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由 =2，

得 ，即 ，

由△PF1F2的面積的最大值為 ，得bc= ．

聯(lián)立 ，解得a=2，b= ．

∴橢圓E的方程為 ；

（2）解：當(dāng)直線AC斜率不存在時， = ，當(dāng)直線AC斜率為0時， = ，

當(dāng)直線AC斜率存在且不為0時，設(shè)直線AC：y=k（x+1），A（x1，y1）C（x2，y2），BD： ，

聯(lián)立 ，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，

∴ ， ，

則|AC|= = ．

將 代入上式可得|BD|= ，

則 = ，

由k2＞0，則 ，

綜上， 的取值范圍為[ ， ]．

【解析】（1）由已知可得關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求．（2）設(shè)直線AC的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長公式即可求得|AC|的值，將 代入上式可得|BD|，由k2＞0，即可求得 的取值范圍．