Question

等邊三角形的邊長為3，點、分別是邊、上的點，且滿足（如圖1）．將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結、 （如圖2）．

（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）存在，且.

解析試題分析：（1）這是一個證明題，先用利用余弦定理在求出的長度，結合勾股定理證明，從而在折疊后對應地有，然后利用平面平面，結合平面與平面垂直的性質定理證明平面；（2）方法1是利用（1）中的提示條件說明平面，
然后再過點作，便可以得到平面，從而為直線與平面所成的角，進而圍繞的長度進行計算；方法2是利用空間向量法，先假設點的坐標，利用（1）中的提示條件說明平面，將視為平面的一個法向量，然后利用確定點的坐標，進而計算的長度.
試題解析：證明：（1）因為等邊△的邊長為3，且，
所以，．
在△中，，
由余弦定理得．
因為，所以．
折疊后有．                                2分
因為二面角是直二面角，所以平面平面．           3分
又平面平面，平面，，
所以平面．                               4分
（2）解法1：假設在線段上存在點，使直線與平面所成的角為．
如圖，作于點，連結、．      5分

由（1）有平面，而平面，
所以．                   6分
又