Question

【題目】設橢圓 （ ）的右焦點為F，右頂點為A，已知 ，其中O 為原點， e為橢圓的離心率.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若 ，且 ，求直線的l斜率.

Answer 1

【答案】解：（I）設 ，由 ，即 ，可得 ，又 ，所以 ，因此 ，所以橢圓的方程為 .
（Ⅱ）設直線的斜率為 ，則直線l的方程為 ，設 ，由方程組 消去y，整理得 ，
解得x=2或 ，
由題意得 ，從而 ，
由（1）知 ，設 ，有 ， ，
由 ，得 ，所以 ，
解得 ，因此直線MH的方程為 ，
設 ，由方程組 消去y，得 ，
在 中， ，
即 ，化簡得 ，即 ，
解得 或 ，
所以直線l的斜率為 或
【解析】本題主要考查橢圓的標準方程以及直線與橢圓的位置關系的應用。（1）根據題意畫出圖形，根據已知的等式找到a，b,c的關系式即可求出橢圓的方程。（2）由已知條件先設出直線的方程，然后聯立直線和橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用韋達定理求出B點的坐標，再求出H的坐標，然后根據垂直得到向量的數量積為0，進而求出直線方程，再根據角相等可得到線段相等，即可求出斜率的值。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．