Question

已知f（x）=log₃

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在實數a、b，使f（x）同時滿足下列兩個條件：
（1）f（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數；
（2）f（x）的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：法一：設g（x）=

x2+ax+b

x

，由f（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數可知g（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，再由f（x）的最小值是1可知

g′(1)=0 g(1)=3

，據此可以求出兩個條件的實數a和b．
法二：因為底數3＞1，故原函數的單調性與 u=

1

x

（x²^2+ax+b）的單調性相同，（x＞0），u=x+

b

x

+a．當b=0時，u=x+a是增函數，與題意不符當b＜0時，u=x+

b

x

+a也是增函數，也不符．故b＞0．由此能求出a=1，b=1．

解答：解法一：存在實數a、b，使f（x）同時滿足兩個條件．具體求解過程如下：
設g（x）=

x2+ax+b

x

，
∵f（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，
∴g（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，
∴

g′(1)=0 g(1)=3

，∴

b-1=0 a+b+1=3

，解得

a=1 b=1

經檢驗，a=1，b=1時，f（x）滿足題設的兩個條件．
解法二：因為底數3＞1
故原函數的單調性與 u=

1

x

（x²^2+ax+b）的單調性相同，（x＞0）
u=x+

b

x

+a
當b=0時，u=x+a是增函數，與題意不符
當b＜0時，u=x+

b

x

+a也是增函數，也不符
故b＞0
u=x+

b

x

+a≥2

b

+a（當且僅當x=

b

時取等號）
該函數在（0，

b

）減，在（

b

，+∞）增
故：

b

=1，b=1
f（x）的最小值是log₃（2

b

+a）=1
a+2=3，a=1
綜上：a=1，b=1．

點評：求解存在性問題時，要注意挖掘題設中的隱含條件，從而建立起適當的方程或方程組，使問題得以解決．