Question

已知定點(diǎn)F(0，1)和直線l₁：y＝－1，過定點(diǎn)F與直線l₁相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C.
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)F的直線l₂交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R，求·的最小值．

Answer 1

（1）x²＝4y（2）16

(1)由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l₁的距離，
∴點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l₁為準(zhǔn)線的拋物線．∴所求軌跡的方程為x²＝4y.

(2)由題意直線l₂的方程為y＝kx＋1，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x²－4kx－4＝0.
記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4.
由直線PQ的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為，
·＝＋(kx₁＋2)(kx₂＋2)
＝(1＋k²)x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋＋4
＝－4(1＋k²)＋4k＋＋4＝4＋8.
∵k²＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k²＝1時(shí)取到等號(hào)．
∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值為16.