Question

【題目】對于實數，將滿足“且為整數”的實數稱為實數的小數部分，用記號表示．對于實數，無窮數列滿足如下條件：，其中．

（1）若，求數列；

（2）當時，對任意的，都有，求符合要求的實數構成的集合；

（3）若是有理數，設（是整數，是正整數，互質），問對于大于的任意正整數，是否都有成立，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）成立，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用新定義，可求數列的通項公式；（2）分類討論，利用，即可求符合要求的實數構成的集合；（3）由是有理數，可知對一切正整數，為或正有理數，可設（是非負整數，是正整數，且，互質），利用反證法可得結論．

試題解析：（1），，

若，則，

所以.

（2），所以，所以，

①當，即時，，所以，

解得（，舍去）.

②當，即時，，所以，

解（，舍去）.

③當，即時，，所以，

解得（舍去）.

綜上.

（2）成立.由是有理數，可知對一切正整數，為0或正有理數，

可設（是非負整數，是正整數，且既約）.

①由，可得；

②若，設（，，是非負整數），

則，而由得，

，故，,可得.

若則，

若均不為0，則這正整數互不相同且都小于，

但小于的正整數共有個，矛盾.

故中至少有一個為0，即存在，使得.

從而數列中以及它之后的項均為0，所以對不大于的自然數，都有.