Question

如圖，底面為直角梯形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，E為A₁B₁的中點，且△ABE為等腰直角三角形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC．
（Ⅰ）求證：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出

EF

EA

；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明AB⊥平面EOD，即可證明AB⊥DE；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合空間直角坐標(biāo)系即可得到結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）取AB的中點O，連結(jié)EO，DO，
∵EB=EA，
∴EO⊥AB，
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
∴四邊形OBCD為正方形，
∴AB⊥OD，
又EO，OD為平面EOD內(nèi)的兩條相交直線，
∴AB⊥平面EOD，由ED?平面EOD，
∴AB⊥DE
（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，
由OD，OA，OE兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
∵△EAB為等腰直角三角形，
∴OA=0B=0D=0E，設(shè)OB=1，
則O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），
∴

EC

=(1，-1，-1)，
平面ABE的一個法向量為

OD

=(1，0，0)，
設(shè)直線EC與平面ABE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

EC

，

OD

＞|=

| EC • OD |

| EC || OD |

=

3

3

，
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值是

3

3

．
（Ⅲ）存在F，且

EF

EA

=

1

3

時，有EC∥平面FBD，
證明如下：由

EF

=

1

3

EA

=(0，

1

3

，-

1

3

)，F(xiàn)（0，

1

3

，

2

3

），
∴

FB

=(0，-

4

3

，-

2

3

)，

BD

=(1，1，0)，
設(shè)平面FBD的法向量為

v

=(a，b，c)，
則

v • BD =0 v • FB =0

，即

a+b=0 - 4 3 b- 2 3 c=0

，
令a=1，則

v

=(1，-1，2)，
∵

EC

•

v

=(1，-1，-1)•(1，-1，2)=0，
即

EC

⊥

v

，
∵EC?平面FBD，
∴EC∥平面FBD．
即當(dāng)F滿足

EF

EA

=

1

3

時，有EC∥平面FBD．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，利用空間向量法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一定的難度．