Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，且f（x）不為常值函數，有以下命題：
①函數g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函數；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，則f（x）是以2為周期的周期函數；
③若f（x）是奇函數，且對于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，則f（x）的圖象的對稱軸方程為x=2n+1（n∈Z）；
④對于任意的x1 ， x2∈R，且x1≠x2 ， 若＞0恒成立，則f（x）為R上的增函數，
其中所有正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵g（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=g（x），故函數g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函數，故①正確；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，則f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，但不一定是周期函數，故錯誤；
③若f（x）是奇函數，且對于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，則函數的周期為4，則f（x）的圖象的對稱軸方程為x=2n+1（n∈Z），故正確；
④對于任意的x1 ， x2∈R，且x1≠x2 ， 若＞0恒成立，則f（x）為R上的增函數，故正確，
故答案為：①③④
根據函數奇偶性的定義，可判斷①；根據已知分析函數的對稱性，可判斷②；根據已知分析出函數的周期性和對稱性，可判斷③；根據已知分析出函數的單調性，可判斷④