Question

若不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈[1，4]上恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  10

  ，3]
• B、[

  1

  6

  ，

  3

  8

  ]
• C、[

  1

  10

  3

  8

  ]
• D、[

  4

  25

  ，3]

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：令f（t）=

t

t2+9

，g（t）=

t+2

t2

，t∈[1，4]，利用基本不等式可求得f（t）_max，g（t）_min，從而可得答案．

解答： 解：令f（t）=

t

t2+9

，g（t）=

t+2

t2

，t∈[1，4]，
∵令f（t）=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，
∴t+

9

t

在[1，3]上單調遞減，（3，4]單調遞增，
∴f（t）在[1，3]上單調遞增，（3，4]單調遞減，上單調遞增，
∴f（t）_max=f（3）=

1

6

；
同理可得g（t）=

t+2

(t+2-2)2

=

1

(t+2)+ 4 t+2 -4

在t∈[1，4]上單調遞減，
∴g（t）_min=g（4）=

3

8

．
∴f（t）_max≤a≤g（t）_min，即

1

6

≤a≤

3

8

．
故答案為：[

1

6

，

3

8

]．

點評：本題考查基本不等式，考查函數恒成立問題，著重考查雙鉤函數的性質，考查構造函數與轉化的思想，綜合性強，屬于難題．