Question

【題目】對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在實(shí)數(shù)a，使得f（a+x）f（a﹣x）=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，則稱f（x）為關(guān)于a的“倒函數(shù)”．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是關(guān)于0和1的“倒函數(shù)”，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的取值范圍為[1，2]，則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）的取值范圍為 ， 當(dāng)x∈[﹣2016，2016]時(shí)，f（x）的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[ ，1]；[ ，2]
【解析】解：若函數(shù)f（x）是關(guān)于0和1的“倒函數(shù)”，
則f（x）f（﹣x）=1，則f（x）≠0，
且f（1+x）f（1﹣x）=1，
即f（2+x）f（﹣x）=1，
即f（2+x）f（﹣x）=1=f（x）f（﹣x），
則f（2+x）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
若x∈[0，1]，則﹣x∈[﹣1，0]，2﹣x∈[1，2]，此時(shí)1≤f（x）≤2
∵f（x）f（﹣x）=1，
∴f（﹣x）= ∈[ ，1]，
∵f（﹣x）=f（2﹣x）∈[ ，1]，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）∈[ ，1]．
即一個(gè)周期內(nèi)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）∈[ ，2]．
∴當(dāng)x∈[﹣2016，2016]時(shí)，f（x）∈[ ，2]．
所以答案是：[ ，1]，[ ，2]．