Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC；
（1）求角B的大小；
（2）設

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(4k，1)(k＞1)，且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先根據正弦定理將邊的關系轉化為正弦值的關系，再由兩角和與差的正弦公式和誘導公式求出cosB的值，最后確定角B的值．
（2）先根據向量數量積的運算表示出

m

•

n

，再運用余弦函數的二倍角公式將2A化為A的關系，最后令t=sinA，轉化為一個一元二次函數求最值的問題．

解答：解：（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．
∴cosB=

1

2

∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（II）

m

•

n

=4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，A∈（0，

2π

3

）
設sinA=t，則t∈（0，1]．則

m

•

n

=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]
∵k＞1，∴t=1時，

m

•

n

取最大值．依題意得，-2+4k+1=5，∴k=

3

2

．

點評：本題主要考查正弦定理、和向量的數量積運算和三角函數求最值的問題．向量和三角函數的綜合題是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．