Question

如圖，在五面體ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=

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AD，
（1）求異面直線BF與DE所成的角的大小；
（2）證明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先將BF平移到CE，則∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；
（2）欲證平面AMD⊥平面CDE，即證CE⊥平面AMD，根據線面垂直的判定定理可知只需證CE與平面AMD內兩相交直線垂直即可，易證DM⊥CE，MP⊥CE；
（3）設Q為CD的中點，連接PQ，EQ，易證∠EQP為二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．

解答：（1）解：由題設知，BF∥CE，
所以∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角．
設P為AD的中點，連接EP，PC．
因為FE₌^∥AP，所以FA₌^∥EP，同理AB₌^∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD內，
故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD設FA=a，
則EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=

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a，故∠CED=60°．
所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°
（2）證明：因為DC=DE且M為CE的中點，
所以DM⊥CE．連接MP，則MP⊥CE．又MP∩DM=M，
故CE⊥平面AMD．而CE?平面CDE，
所以平面AMD⊥平面CDE．
（3）解：設Q為CD的中點，連接PQ，EQ．
因為CE=DE，所以EQ⊥CD．因為PC=PD，
所以PQ⊥CD，故∠EQP為二面角A-CD-E的平面角．
可得，EP⊥PQ，EQ=

6

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a，PQ=

2

2

a．于是在Rt△EPQ中，cos∠EQP=

PQ

EQ

=

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點評：本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力．