Question

已知正項數列{a_n}，其前n項和S_n滿足6S_n＝＋3a_n＋2，且a₁，a₂，a₆是等比數列{b_n}的前三項．
(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
(2)記T_n＝a₁b_n＋a₂b_n－1＋…＋a_nb₁，n∈N^*，證明：3T_n＋1＝2b_n＋1－a_n＋1(n∈N^*)．

Answer 1

（1）a_n＝3n－2，b_n＝4^n－1（2）見解析

(1)∵6S_n＝＋3a_n＋2，①
∴6a₁＝＋3a₁＋2，解得a₁＝1或a₁＝2.
又6S_n－1＝＋3a_n－1＋2(n≥2)， ②
由①－②，得6a_n＝(－)＋3(a_n－a_n－1)，即(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－3)＝0.
∵a_n＋a_n－1＞0，∴a_n－a_n－1＝3(n≥2)．
當a₁＝2時，a₂＝5，a₆＝17，此時a₁，a₂，a₆不成等比數列，∴a₁≠2；
當a₁＝1時，a₂＝4，a₆＝16，此時a₁，a₂，a₆成等比數列，∴a₁＝1.
∴{a_n}是以1為首項3為公差的等差數列，{b_n}是以1為首項4為公比的等比數列．
∴a_n＝3n－2，b_n＝4^n－1.
(2)由(1)得
T_n＝1×4^n－1＋4×4^n－2＋…＋(3n－5)×4¹＋(3n－2)×4⁰，  ③
∴4T_n＝1×4ⁿ＋4×4^n－1＋7×4^n－2＋…＋(3n－2)×4¹.  ④
由④－③，得
3T_n＝4ⁿ＋3×(4^n－1＋4^n－2＋…＋4¹)－(3n－2)＝4ⁿ＋12×－(3n－2)
＝2×4ⁿ－(3n＋1)－1＝2b_n＋1－a_n＋1－1，
∴3T_n＋1＝2b_n＋1－a_n＋1(n∈N^*)．