Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，若點E,F分別為AB和CD的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證得平面，再由面面垂直的判定定理證得平面平面；

（2）由二面角的定義及題意可知，，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，，利用即可得解.

（1），為中點，

，

又，平面，平面，，

平面，

又平面ABCD，

平面平面.

（2），，平面平面，

就是二面角的平面角，

所以，

如圖作，垂足為O，

則，所以，，則，

如圖，建立空間直角坐標系，

則，，，，

設平面的法向量為，則

，即，

令，則，

則是平面的一個法向量，，

則.

所以與平面所成角的正弦值.