Question

設f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，f（x）=

2

x

+xlnx，根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，利用導數求出函數g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）_max-g（x）_min，從而求出滿足條件的最大整數M．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=

2

x

+xlnx，f′(x)=-

2

x2

+lnx+1，
∴f（1）=2，f′（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1處的切線斜率為-1；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
當x∈（0，

2

3

）時，g′（x）＜0，當x∈（

2

3

，2）時，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴滿足條件的最大整數M=4

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題和利用導數求閉區間上函數的最值，同時考查了轉化與化歸的思想，屬于中檔題．