Question

設f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）為f（x）的反函數．
（1）當a=e（e為自然對數的底數）時，求函數y=f（x）-x的最小值；
（2）試證明：當f（x）與g（x）的圖象的公切線為一、三象限角平分線時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導數，然后根據函數的單調性研究函數的極值點，求出f'（x）=e^x-1，當x＞0時，f'（x）＞0，當x＜0時，f'（x）＜0，故當x=0時，f（x）有最小值1．
（2）顯見，當0＜a＜1時，一三象限角平分線不可能是f（x）與g（x）的公切線，故a＞1．再設切點為（x，x）由有x=log_ae代入，即可求得．
解答：解：（1）由y=e^x-x有y'=e^x-1．
解e^x-1=0得x=0
顯見當x＜0時，y'＜0．當x＞0時y'＞0．
故y=e^x-x在（-∞，0]單減，在（0，+∞）單增．
從而在x=0處取得極小值e°-0=1，同時也是最小值．
（2）顯見，當0＜a＜1時，一三象限角平分線不可能是f（x）與g（x）的公切線，故a＞1．
設切點為（x，x）由有x=log_ae代入 （1）
從而即e=log_ae．
故a^e=e．有．
點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及利用導數解決切線問題，考查了劃歸與轉化的思想，屬于中檔題．