Question

設圓O：x²+y²=4，O為坐標原點
（I）若直線l過點P（1，2），且圓心O到直線l的距離等于1，求直線l的方程；
（II）已知定點N（4，0），若M是圓O上的一個動點，點P滿足

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）考慮兩種情況：（1）斜率不存在即所求直線與y軸平行時，容易直線的方程；（2）斜率存在時，設出直線的斜截式，然后利用點到直線的距離公式列出原點到直線l的距離的方程，求出斜率k即可得到方程．
（II）設點P（x，y），根據點P和N的坐標，進而可得

OP

和

OM

，

ON

，再代入

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，答案可得．

解答：解：（I）（1）當過點P（1，2）的直線l與x軸垂直時，
此時圓心O到直線l的距離等于1，
所以x=1為所求直線方程．
（2）當過點P（1，2）且與x軸不垂直時，可設所求直線方程為y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由題意有

|-k+2|

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
故所求的直線方程為y-2=

3

4

(x-1)，即3x-4y+5=0．
綜上，所求直線方程為x=1或3x-4y+5=0．
（II）：設點P（x，y），M（x₀，y₀），則

OP

=（x，y），

OM

=(x0，y 0)
因為N（4，0）
所以

ON

=（4，0）
因為

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，
所以（x，y）=

1

2

[（4，0）+（x₀，y₀）]
即

x= 1 2 x0+2 y= 1 2 y0

，即

x0=2x-4 y0=2y

又x₀²+y₀²=4，∴（2x-4）²+4y²=4，
即：（x-2）²+y²=1．
故動點P的軌跡方程：（x-2）²+y²=1．

點評：本題主要考查了點到直線的距離公式、利用向量的關系求點的軌跡方程．此題為中檔題，學生做題時容易少一種斜率不存在的情況，要求學生考慮問題要全面．應用分類討論的數學思想解決數學問題．