Question

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上的兩點，已知O為坐標原點，橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，且

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，若

m

•

n

=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得b=1且

a2-b2

a

=

3

2

，解出a=2，由此即可得到該橢圓的方程；

（2）由（1）得焦點F（0，

3

），設AB的方程為y=kx+

3

，與橢圓方程聯解并消去y，得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，由根與系數的關系得x₁+x₂、x₁x₂關于k的表達式．由

m

•

n

=0，利用向量數量積的運算性質得到關于k的方程，解出k=±

2

，代入前面式子得x1+x2=?

2 6

6

，x1x2=-

1

6

，從而算出|x₁-x₂|=

2 3

3

，由此代入△AOB面積公式，即可得到所求△AOB的面積．

解答：解：（1）∵短軸長為2b=2，∴b=1
又∵橢圓的離心率e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

∴解得a=2，所以橢圓的方程為

y2

4

+x2=1（5分）
（2）由（1）得c=

a2-b2

=

3

，可得F（0，

3

）
由題意知直線AB的斜率存在，
設直線AB的方程為y=kx+

3

，與橢圓方程聯解得

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

消去y，得(k2+4)x2+2

3

kx-1=0
∴x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

（7分）
∵

m

•

n

=0，
∴

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=x1x2+

1

4

(kx1+

3

)(kx2+

3

)=(1+

k2

4

)x1x2+

3 k

4

(x1+x2)+

3

4

=

k2+4

4

(-

1

k2+4

)+

3 k

4

•

-2 3 k

k2+4

+

3

4

=0，解之得k=±

2

（10分）
∴x1+x2=

-2 3 k

k2+4

=?

2 6

6

，x1x2=

-1

k2+4

=-

1

6

，
由此可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2 6 6 )2-4(- 1 6 )

=

2 3

3

∴△AOB的面積為S△AOB=

1

2

|OF|•|x1-x2|=

3

2

•

2 3

3

=1．（13分）

點評：本題給出橢圓的短軸長和離心率，求橢圓的方程并依此求△AOB的面積．著重考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系和坐標系中三角形面積求法等知識，屬于中檔題．