Question

已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，直線l過點F交拋物線C于A、B兩點．
（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求

1

y1

+

1

y2

的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點Q，使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF？證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設直線l方程為y=kx+1，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用基本不等式即可求得求

1

y1

+

1

y2

的取值范圍，從而解決問題．
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在定點Q，使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF，再利用斜率公式結合推理，求出Q點，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）設直線l方程為y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

1

y1

+

1

y2

≥2

1 y1 • 1 y2

=2

1 x 2 1 4 • 1 x 2 2 4

=2

16 (-4)2

=2
所以

1

y1

+

1

y2

的取值范圍是[2，+∞）．（7分）
（Ⅱ）當l平行于x軸時，要使∠AQF=∠BQF，則Q必在y軸上．
設點Q（0，b），由題意得

kAQ+kBQ=0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

，
∵x12=4y1，x22=4y2，∴b=-1
∴Q（0，-1）
∵以上每步可逆，
∴存在定點Q（0，-1），使得∠AQF=∠BQF（15分）

點評：本題主要考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的聯立問題．直線與圓錐曲線的聯立是高考考查圓錐曲線的一種典型題型，一般作為壓軸題出現．