Question

【題目】如圖所示， 矩形所在的平面， 分別是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求證： .

（3）當滿足什么條件時，能使平面成立？并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；（3）當滿足時，能使平面成立.證明見解析。

【解析】試題分析：（1）取的中點，連結，證明四邊形是平行四邊形，可得，利用線面平行的判定，即可得出結論；（2）由線面垂直得，由矩形性質得，由線面垂直的判定定理可得平面，由此能證明；（3）當滿足時，能使平面成立，可利用等腰三角形的性質以及線面垂直的判定定理證明.

試題解析：（ ）證明：取的中點，連接， ．

∵， 分別是， 中點，

∴，

又∵， 是中點，

∴，

∴,

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

∵平面， 平面，

∴平面．

（）∵平面，

∴，

又，

∴平面，

∴，

又∵

∴．

（）當滿足時，能使平面成立，

現證明如下：

∵， 是中點，

∴．

∵，

∴．

由（）可知，

∴平面．

故當滿足時，能使平面成立．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質定理與判定定理，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.