Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的定義域和值域；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)的反函數(shù)為，解關(guān)于x的方程：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)時(shí)，原方程的根為；當(dāng)時(shí)，原方程的根為.

【解析】

（1）先根據(jù)真數(shù)大于零列不等式，再分和進(jìn)行討論解得定義域；最后在定義域下求真數(shù)范圍，即得的值域；

（2）先確定原函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合，再在定義域下分和進(jìn)行討論的單調(diào)區(qū)間；

（3）先求反函數(shù)得，再根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)、指數(shù)性質(zhì)解方程得或,最后驗(yàn)根.

（1）當(dāng)時(shí)，由，即的定義域?yàn)?/span>；

又且，∴，即的值域?yàn)?/span>.

同理，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>.

（2）設(shè)，時(shí)，是上的減函數(shù)，是增函數(shù)，故是上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，是減函數(shù)，故是上的減函數(shù).

（3）∵，∴等價(jià)于.該方程可化為.

解方程，得或.

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，原方程的根為；當(dāng)時(shí)，原方程的根為.