Question

【題目】設函數,其中

(Ⅰ)求的單調區間；

（Ⅱ）若存在極值點，且，其中，求證: ；

（Ⅲ）設，函數，求證： 在區間上最大值不小于.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）求單調區間，先求導解導數大于零求遞增區間，導數小于零求遞減區間，但要注意a的取值對導數符號得影響（2）函數存在極值點，即將代入導函數等于零，又所以從而得證（3）求最值先分析函數單調性即可，然后討論在區間得極值和端點值大小來確定最大值，再驗證其不小于即可

試題解析：

（Ⅰ）由，可得，

下面分兩種情況討論：

（1）當時，有恒成立，所以單調遞增區間為

（2）當時，令，解得，或，

當變化時， 的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（Ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即

進而

又

,且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數滿足，且，因此，所以；

（Ⅲ）證明：設在區間上的最大值為, 表示兩數的最大值，下面分三種情況討論：

（1）當時， ，由（Ⅰ）知， 在區間上單調遞減，所以在區間上的取值范圍為，因此

所以

（2）當時， ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ，

所以在區間上的取值范圍為，

因此

（3）當時 時， ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， ， ，

所以在區間上的取值范圍為，因此，

綜上所述，當時， 在區間上的最大值不小于.