Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；

（2）求所有的實數，使得對任意時，函數的圖象恒在函數圖象的下方；

（3）若存在，使得關于的方程有三個不相等的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）；

【解析】

試題分析：（1）,

由在上是增函數，則，即，所以的取值范圍為．

（2）由題意得對任意的實數，恒成立，即，當恒成立，

即，得，

故只要且在上恒成立即可，

在時，只要的最大值小于且的最小值大于即可，

而當時，，為增函數，；

當時，，為增函數，，所以．

（3）當時，在上是增函數，則關于的方程不可能有三個不等的實數根；

則當時， 由 ，

得在時，對稱軸，則在為增函數，

此時的值域為，

在時，對稱軸，則在為增函數，

此時的值域為，在為減函數，此時的值域為；

由存在，方程有三個不相等的實根，則，

即存在，使得即可，令，

只要使即可，而在上是增函數，，

故實數的取值范圍為；

同理可求當時，的取值范圍為；

綜上所述，實數的取值范圍為．