Question

直角坐標系下，O為坐標原點，定點E（8，0），動點M（x，y）滿足

MO

•

ME

=x²，
（1）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過定點F（2，0）作互相垂直的直線l₁，l₂分別交軌跡C于點M，N和點R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值；
（3）定點P（2，4），動點A，B是軌跡C上的三個點，且滿足K_PA•K_PB=8試問AB所在的直線是否過定點，若是，求出該定點的坐標；否則說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，由此能導出點M的軌跡方程；
（2）由題設條件知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，設MN的方程為y=k（x-2），與y²=8x聯立，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由拋物線定義知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，RQ的方程為y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，由此能求出四邊形MRNQ面積的最小值．
（3）設A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），則kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0，由此知，直線AB過定點（1，-4）．

解答：解：（1）由題意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，
∴y²=8x為點M的軌跡方程；
（2）由題設條件知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，
設MN的方程為y=k（x-2），與y²=8x聯立，得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，
由拋物線定義知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，
同理，RQ的方程為y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，
∴SMRNQ=

1

2

|MN||RQ|=32×

(k2+1)2

k2

=32(k2+

1

k2

+2)≥32(2+2)=128，
當且僅當k²=1，k=±1時，取“=”號，故四邊形MRNQ面積的最小值為128．
（3）設A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），
則kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，
∴kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0…①
lAB：y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，
∴y=

8

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∴y₁y₂-（y₁+y₂）y+8x=0，
與①比較知，直線AB過定點（1，-4）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識和均值不等式的靈活運用，解題時要注意合理地進行等價轉化．