Question

直角坐標系下，O為坐標原點，定點E（0，4），動點M（x，y）滿足

MO

•

ME

=y2
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過曲線C上任意一點M（x₀，y₀）（x₀≠0）做兩條傾斜角互補的弦MA、MB，其中A、B在曲線C上，證明：曲線C在點M處切線的斜率與弦AB的斜率之和為0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先表示

MO

=(-x，-y)，

ME

=(-x，4-y)，利用向量的數量積的定義可求

MO

•

ME

（Ⅱ）由題意可設MA：y-y₀=k（x-x₀），聯立方程

y-y0=k(x-x0) x2=4y

，由方程的根與系數的關系可得，可求x_A，進而A，同理可求，利用斜率公式可求，KAB=

yA-yB

xA-xB

，利用導數的幾何意義可得，y′|x=x₀=(

x2

4

)′|x=x0，從而可證

解答：解：（Ⅰ）∵E（0，4），M（x，y）
∴

MO

=(-x，-y)，

ME

=(-x，4-y)
∴

MO

•

ME

=（-x，-y）•（-x，4-y）=x²-4y+y²=y²
∴點M的軌跡方程為x²=4y…4分
（Ⅱ）由題意可設MA的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）
聯立方程l

y-y0=k(x-x0) x2=4y

可得x²-4kx+4kx₀-4y₀=0
由方程的根與系數的關系可得，x_A+x₀=4k（7分）
∴A(4k-x0，

(4k-x0)2

4

)
同理B(-4k-x0，

(4k+x0)2

4

)（9分）
∵KAB=

yA-yB

xA-xB

=-

1

2

x0（10 ）
而y′|x=x₀=(

x2

4

)′|x=x0
∴′K_AB+y′|x=x₀=0（12分）

點評：本題以向量的數量積為載體，主要考查了直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數的應用，導數的幾何意義等知識的綜合應用，屬于綜合性試題