Question

【題目】已知定點S( -2，0) ，T(2，0)，動點P為平面上一個動點，且直線SP、TP的斜率之積為.

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）設點B為軌跡E與y軸正半軸的交點，是否存在直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）設，由結合兩點間斜率計算公式，整理化簡即可；

（2）根據題意，設直線的方程為，，因為，所以，結合直線和橢圓聯立的方程組，求出的值，根據題意，確定出即可得出結果.

（1）設，由已知有，

整理得動點P的軌跡E的方程為

（2）由（1）知，的方程為，所以

又，所以直線的斜率，

假設存在直線，使得是的垂心，則.

設的斜率為，則，所以.

設的方程為，.

由，得，

由，得，

.

因為，所以，因為，

所以，

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或，

當時，直線過點，不能構成三角形，舍去；

當時，滿足，

所以存在直線：，使得是的垂心.