Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中中，曲線的參數方程為為參數， ）. 以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為.

（1）設是曲線上的一個動點，當時，求點到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上所有的點均在直線的右下方，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】【試題分析】（1）可先將直線的極坐標化為直角坐標方程，再借助曲線參數方程得到形式運用點到直線的距離公式建立目標函數，通過求函數的最值使得問題獲解；（2）先將問題進行等價轉化為不等式恒成立，然后再借助不等式恒成立建立不等式進行求解：

解：(1)由，得，化成直角坐標方程，得，即直線的方程為，依題意，設，則到直線的距離，當，即時， ，故點到直線的距離的最大值為.

(2)因為曲線上的所有點均在直線的右下方， ， 恒成立，即

（其中）恒成立， ，又，解得，故取值范圍為.