Question

已知正實數x，y，設a=x+y，．
（1）當y=1時，求的取值范圍；
（2）若以a，b為三角形的兩邊，第三條邊長為c構成三角形，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：當y=1時，x=a-1，由x，y均為正實數，代入，可得，進而根據二次函數的圖象和性質得到的取值范圍；
法二：當y=1時，根據a=x+y，，可將化為的形式，進而利用基本不等式求出的取值范圍；
（2），則，由于a，b，c為三角形的三邊，由“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”構造關于k的不等式組，進而根據對勾函數的單調性，求出的取值范圍．
解答：解：（1）由題設知，x=a-1，且a=x+1＞1
所以，
又
結合二次函數的圖象知
故的取值范圍為
另解：
=，∵∴，得的取值范圍為
（2）設，則
∵恒成立，
即，恒成立
令，由于在[1，+∞）是增函數，令，則
又∵∴，
得的取值范圍為（1，25）
點評：本題考查的知識點是函數的值域，基本不等式在求函數最值時的應用，對勾函數的單調性，其中（1）的關鍵是將的表達式，根據已知進行變形，為二次函數性質的應用或基本不等式的應用創造條件，（2）的關鍵是設，并根據三角形的三邊“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”構造關于k的不等式組．