Question

已知函數f（x）=e^x+alnx的定義域是D，關于函數f（x）給出下列命題：
①對于任意a∈（0，+∞），函數f（x）是D上的減函數；
②對于任意a∈（-∞，0），函數f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得對于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函數f（x）有兩個零點．
其中正確命題的序號是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,導數的綜合應用

分析：先求導數，若為減函數則導數恒小于零；在開區間上，若有最小值則有唯一的極小值，若有零點則對應方程有根

解答： 解：由對數函數知：函數的定義域為：（0，+∞），
f′（x）=e^x+

a

x

，
①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e^x+

a

x

≥0，f（x）是增函數．故①不正確；
②∵a∈（-∞，0），∴存在x有f′（x）=e^x+

a

x

=0，可以判斷函數有最小值，故②正確；
③畫出函數y=e^x，y=alnx（a＞0）的圖象，x可取（0，1）內的一個數f（x）＜0，故③不正確；
④函數y=e^x是增函數，a＜0時，y=alnx是減函數，所以存在a∈（-∞，0），由圖可讓a的絕對值較大，
f（x）=e^x+alnx=0有兩個根，故④正確．
故選C．

點評：本題主要考查導數法研究函數的單調性、極值、最值等問題，注意應用數形結合思想方法，是一道中檔題．