Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時，f(x)=

3 8 x2(0≤x≤2) ( 2 2 )x+1(x＞2)

若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、(-3，-

  5

  2

  )
• B、(-

  5

  2

  ，-1)
• C、(-3，-

  5

  2

  )∪(-

  5

  2

  ，-1)
• D、（-3，-1）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出f（x）在y軸右邊的圖象，從而由題意可得x²+ax+b=0的兩根分別為x₁=

3

2

，1＜x₂＜

3

2

或0＜x₁≤1，1＜x₂＜

3

2

，再由兩根之和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，從而求解．

解答： 解：作出f(x)=

3 8 x2(0≤x≤2) ( 2 2 )x+1(x＞2)

的圖象如右，
又∵函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
且關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R
有且僅有6個不同實數(shù)根，
∴x²+ax+b=0的兩根分別為x₁=

3

2

，1＜x₂＜

3

2

或0＜x₁≤1，1＜x₂＜

3

2

；
由韋達(dá)定理可得，x₁+x₂=-a；
若x₁=

3

2

，1＜x₂＜

3

2

，
則

5

2

＜-a＜3，
即-3＜a＜-

5

2

；
若0＜x₁≤1，1＜x₂＜

3

2

；
則1＜-a＜

5

2

，
即-

5

2

＜a＜-1；
綜上可得，-3＜a＜-

5

2

或-

5

2

＜a＜-1．
故選C．

點評：本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系，屬于中檔題．