Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），經過點（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點，交x軸于M點，又

AM

=2

MB

．
（Ⅰ）求橢圓C長軸長的取值范圍；
（Ⅱ）若|

AB

|=

3 2

2

，求橢圓C的方程．

Answer 1

（I）設直線l與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，和x軸交于M（1，0）點．
由

AM

=2

MB

，知y₁=-2y₂，
將x=1-y代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得（a2+b2）y²-2b²y+b2（1-a²）=0，①
由韋達定理，知

y1+y2= 2b2 a2+b2 =-y2，② y1y2= b2(1-a2) a2+b2 =-2y22，③

②2

③

得b²=

a2(1-a2)

a2-9

，④
對方程①由△=4b⁴-4b²（a²+b²）（1-a²）＞0，得a²+b²＞1．⑤
將④代入⑤，得a2+

a2(1-a2)

a2-9

＞1，解得1＜a²＜9，
又由a＞b及④，得a²＜5，∴1＜a²＜5，∴1＜a＜

5

．
∴所求橢圓長軸長的取值范圍是（2，2

5

）．
（II）由（I）中②③得，
|AB|=

2

|y₁-y₂|=

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 2 ab a2+b2-1

a2+b2

，
∵|

AB

|=

3 2

2

，∴

2 2 ab a2+b2-1

a2+b2

=

3 2

2

，⑥
聯立④⑥，解得a²=3，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．