Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為

1

3

．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）在橢圓上任取一點P，過P點做y軸垂線段PQ，Q為垂足，當P在橢圓上運動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程．

Answer 1

（Ⅰ）由題意知，2a=12，

c

a

=

1

3

，故a=6，c=2，
∴b²=a²-c²=32，
故所求橢圓的方程為：

x2

36

+

y2

32

=1．
（Ⅱ）設線段PQ的中點為M（x，y），
點P的坐標是（x₀，y₀），
那么：

x0=2x y0=y

，
由點P在橢圓上，得

4x2

36

+

y2

32

=1，即

y2

32

+

x2

9

=1，
∴線段PQ中點M的軌跡方程是

y2

32

+

x2

9

=1．